Integrali Anlamak

İnsanlar, doğayı anlayabilmek ve yorumlama yapabilmek için matematiği oluşturmuşlardır. Kimi bir diğerine belli bir uzunluğu aktarabilmek için ölçüm birimlerini geliştirmiş, kimi ise elindeki mal varlığını anlayabilmek için sayıları ortaya çıkarmıştır. Matematik, böylesi büyük bir silsile sonucunda oluşmuştur.

Matematik bugün belirli konuları anlamlandırabilmek için milyarlarca hücreye bölünmüş, muhtelif hücreler kendi içerisinde büyümüş ve klasik fizikten modern fiziğe, kimyadan biyolojiye ve bunların büyülü bir bileşiminden oluşan mühendisliğe birer temel teşkil etmiştir.

Bugünkü blog yazımızda, bu büyülü dünyada adını sıkça duyduğumuz bir unsurdan bahsedeceğiz: İntegral!

Birçoğumuzun hayatının bir döneminde en az bir kere duyduğu integral nedir? Ortada hiçbir motivasyon yokken, bir değişkenin önündeki sayıyı ters çevirerek, kendisi ile çarpıp değişkenin üstünü bir artırmak mı? Eğer öyleyse, akıllarımıza, “bu gereksiz işlem ne işimize yarayacak” sorusu gelmez mi?

Bu sorulara cevap verebilmek için, çoğu zaman gereksiz bir işlemden ibaret olduğunu düşündüğümüz integralin aslında ne olduğunu tartışacağız.

Integral Nedir?

Dünyada her şey kelimelerin ahengi üzerine kuruludur. Tam da bu nedenle, ilk bakışta edebiyat ve dil ile en ilgisiz disiplinler olarak gözüken fen bilimleri dahi, esasında içlerinde dil ve edebiyat barındırırlar. Elbette ki matematik de dilin nimetlerinden faydalanmıştır. Biz de buradan hareketle integrale kelime anlamı üzerinden yaklaşacağız. 

İntegral kelimesi dilimize İngilizceden, İngilizceye ise Fransızca “integral” kelimesinden geçmiştir. Çok yaygın kullanılmamakla birlikte asıl Türkçe karşılığı ise “tümlev”dir. Anlamsal bütünlük arz eden bu kelimeler, tümleme, bütünleştirme ve birleştirme anlamlarında kullanılmakta ve integrali oldukça güzel bir biçimde özetlemektedir.

İntegral, cebir açısından bakıldığında aslında bir toplama işlemidir. Bir diğer deyişle, “iki artı iki, eşittir dört eder” gibi basit bir toplama işlemidir. Öte yandan bu toplama işlemi öyle bir toplama işlemidir ki, bu işlem ile nesnel olarak her şeyi toplayabilirsiniz. Bu her şeyi toplayabilme niteliğini bir örnek ile daha açık bir biçimde izah etmeye çalışalım;

Elimizde iki adet elma olduğunu düşünelim. Eğer elimize iki elma daha alırsak, sahip olduğumuz elma sayısı toplamda dört olacaktır. Bu işlem oldukça basit bir toplama işlemidir. Peki ya elmaların yüzey alanını, hacmini veya kütlesini öğrenmek istersek? İşte bu noktada integral devreye girerek bize bu ögeleri de toplama işlemi aracılığıyla bulabileceğimizi söyler.

Elmanın yüzeyinde bulunan bir hücrenin alanını bulduğunuzu, ardından yüzeyindeki tüm hücrelerin alanını topladığınızı ve böylece elmanın yüzey alanını bulduğunuzu tahayyül edin. İşte integral budur. Bir cümle ile özetlemek istersek, integral, kare gibi şekli düzgün olmayan (karenin alanı iki kenarını çarpımıdır) ve alanı kolayca hesaplanamayan nesnelerin alanını, milyonlarca (hatta teorik olarak sonsuz tane) küçücük hesap edilebilir parçacığa (örneğin karelere) çevirme, bu alanları hesaplama ve ardından bu alanları toplama işlemidir.

Farklı Bilim ve Mühendislik Dallarının Temel Bir Unsuru

Bu işlemi küçük bir örnekle somutlaştıralım; dijital bir ekrana çok yakından baktığınızda, ekrandaki görselin piksel adı verilen küçük karelerden oluştuğunu görürsünüz. Bu dijital ekranda yer alan piksellerin alanını bulma ve görselin içerdiği piksel sayısını toplama yoluyla, görselin ekran üzerindeki mevcut alanını elde edebiliriz. Riemann toplamları olarak bilinen bu toplama işlemi, integralin topladığı ögelere verilebilecek örneklerden yalnızca bir tanesidir.

İntegralin gözle görülemeyen ögeleri dahi toplayabildiğini göstermek amacıyla, radyo terminolojisinde mevcut olan FM ve AM terimleri üzerinden küçük bir örnek daha verelim. FM’in açılımı olan Frequency Modulation “frekans modülasyonu”, AM’in açılımı olan Amplitude Modulation ise “genlik modülasyonu” anlamında gelmektedir. Modülasyon, bir bilgi sinyalini (örneğin ses), bir taşıyıcı sinyal ile (radyolarda ayarladığımız 103.5 gibi frekans ayarları) birleştirme anlamına gelmektedir. Bu noktada devreye integral girer.

Taşıyıcı sinyali bilgi sinyali ile anbean toplamamız gerekir ve bunu cebirsel olarak ancak integralle ifade edebiliriz. Bu işlem sürecinde kullandığımız integral ise konvolüsyon integral olarak adlandırılır. Görüldüğü gibi, integralin fonksiyonu temelde bütünleştirme, birleştirme ve toplama olsa da bu bütünleştirme işlemi birçok farklı forma girebilir. Sonuç olarak integral, temel bir toplama işleminden ibaret olsa da, ezberlenmiş basit kurallara sığmayan, aksine, bilimde ezber bozan; bilişimin, elektroniğin, makinaların, yapıların, biyolojinin, ekonominin, istatistiğin, her çeşit bilimin ve mühendisliğin içinde kullanılan en temel matematiksel unsurlardan biridir.

Ahmet Cemal Kurtulmuş